Точно не «Гранд Будапешт»: что такое парадокс бесконечного отеля

Может ли YouTube просвещать? Да, если речь идет о проекте TED Ed. Что вы знаете о бесконечности? Немецкий математик Давид Гильберт в 1920-х годах разработал модель, наглядно демонстрирующую, насколько сложно осмыслить саму идею бесконечности.

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Всего-то и нужно представить себе гостиницу с бесконечным количеством комнат. И очень трудолюбивым ночным администратором. Каким-то образом ночью отель оказывается забит под завязку — соответственно, мы имеем бесконечное количество гостей. Внезапно заходит человек и просит комнату, а администратор, вместо того, чтобы ему отказать, решает освободить для него одну комнату в этом бесконечном отеле. Для этого просто нужно переселить постояльца из номера 1 в номер 2, постояльцу из второго — в третий. И так далее. То есть каждый переселится из номера n в номер n + 1, и каждому хватит места, потому что количество номеров в гостинице бесконечно.

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ
РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Это ладно. А вот потом у гостиницы останавливается автобус — очень длинный автобус со счетно бесконечным количеством пассажиров. Что же происходит тогда? Тогда наш хорошо образованный ночной администратор просит постояльца из номера 1 перейти в номер 2, из номера 3 в номер 6, из 4 в 8, из 5 в 10 и так далее. Смысл в том, что все клиенты из номера n переезжают в номер 2n. Таким образом они заполняют бесконечное количество комнат с четным номером, а освобождается бесконечное количество комнат с нечетным, куда вселятся новые гости из только что прибывшего бесконечного автобуса.

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Гостиница получает еще большую прибыль (ну, то есть такую же бесконечно большую, как и обычно), гостям есть где переночевать, механизм отлажен, менеджер всех спас. Остается недовольной одна только уборщица.

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ
РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

И вот отель становится мировой достопримечательностью — его бесконечные просторы хотят увидеть туристы со всего света. И вот однажды наш ночной менеджер видит бесконечную череду бесконечных автобусов со счетно бесконечным количеством пассажиров в каждом. Что же делать? Если не найти номеров, можно понести бесконечные убытки (а вы как хотели? это же бесконечный отель). Как не потерять работу?

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Но наш менеджер, как мы помним, хорошо образован, и помнит, что в районе 300 года до н.э. древнегреческий математик Евклид доказал, что количество простых чисел бесконечно. Какая же формула сработает на этот раз? Обозначаем каждый автобус простыми числами — 3, 5, 7, 11 и так далее... Также нам понадобятся номера сидений каждого из пассажиров — они станут степенями. То есть, например, пассажира автобуса под номером 3 с сидением номер 7 мы поселим в комнату номер 2187, потому что это 3 в 7 степени. Степени следующего простого числа (а это 5) занимают пассажиры следующего автобуса — так номера комнат ни у кого не совпадут. И так далее до бесконечности.

Эта гостиница будет функционировать на уровне счетной бесконечности натуральных чисел. На более высоком уровне все было бы совсем иначе — были бы отрицательные комнаты (скажем, в подвалах и на подземных этажах), дробные комнаты (в которых постояльцы подозревают, что у них потолок вдвое ниже, чем у других), квадратные корни и прочие неудобства. Ну вот и как можно постичь бесконечность в этом случае? Да даже за бесконечную зарплату работать в такой гостинице не возьмется никто!

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Все подробности того, почему нашим ограниченным умом так сложно объять вроде бы понятную идею бесконечности, узнаете из YouTube-ролика от TED Ed:

Нажми и смотри